８．２　 Cantor の絶対、基準�Tmark I

次なる問いは−明白なものだが−、オーディナル自体の進行がどれほど進むのかということである。この答えは「無際限に[無限定に]indefinitely」というものである。そしてこれがそれ自体少し無限定であると感じるならば、そうである。しかしそれは誰にとってもなしえる最善のものである！ Cantor が言うには、それは絶対的な無限にまで進むのである（ ω のような相対的無限に対して）。この節では、 Cantor が 絶対 について言わなければならなかったことを最初に見てみよう。
　そもそもの始めから、 Cantor は超限的な無限と絶対的な無限を区別していた。この区別の根拠は、いかなる超限的な量にとっても、より大きなものが、ただし 絶対 にまで至らないものが存在するということである。彼はこんな風に言う（Hallett(1984)）, p.41）

　ここでわれわれは 基本的な 区別をしなければならない。
　�Uａ　増大しうる顕在的−無限actual-infinite、あるいは 超限 transfinite
　�Uｂ　増大しえない顕在的−無限actual-infinite、あるいは 絶対 Absolute

これが意味することを理解するために、典型的な超限的量が、８．１ で生成されたような（非−有限の）オーディナルであることに注意しよう。そうしたオーディナルにはどんなものでもより大きいものが存在するということを想起されたい。




⁴　Cantor 自身の言葉；Dauben(1979), p.98 を見よ。

⁵　Zermelo-Franekel 集合論でのこの事実の証明は、代置の公理 Axiom of Replacement を必要とする。

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こうして生成されたオーディナルの総体は、他方では、絶対的な無限であり、それはもっと大きくはできないものである。 Cantor が別のところで言うように（Hallett(1984), p.44）

その形成と形の充満を持つ 超限的なもの は、必然的に 絶対 を指示する。これは「真の無限」であり、その大きさは増大も減少も不可能であり、したがって量的には一つの絶対的な最大absolute maximumと見なされる。

　この引用から明らかなように、 絶対 とは、先立つ世代の哲学者たちを関わらせたまさに無限なのである。超限的なものとは、いわゆる有限と 絶対 との間に生じる中間地帯である。この存在は非常に重要な発見であるが、無限の実存と本性に関する議論が進む限り、 絶対的な非関与性 absolute irrelevancy である。⁶
　絶対的な無限について、 Cantor は何を言わなければならなかったのだろうか。始まりとして、プライヴェイトには、絶対的な無限に関して非常に熱心に語るのを常としていた。（Dauben(1979), p.13）。

有限なものと超限なものすべてを乗り越えるものは．．．単一の完全に個体的な統一 unity であり、すべてのものが含まれ、人間悟性には了解不能の「 絶対 」を包含する。これは「純粋行為Actus Purissimus」であり、多くの者によって「神」と呼ばれる。

明らかに、神秘主義ではないにせよ、神学が登場している。無限とともに、 絶対の最大 、神、了解不能性を引き入れることによって、 Cantor はここで Cusanus を強く想起させる。（１．８, １．９を参照）
　もっと抑制された公の宣言では、神学的つながりは進められていない。しかし了解不能性の主張は確かに存在する。オーディナルの増大に関して語りながら、彼は言う（Hallett(1984), p.13）。

私は疑いないと思っている。こうしてわれわれは、克服し難い障碍に到達することは決してなく、先へと押し広げるが、しかしまた 絶対 の近似的了解ですら決して到達できない。 絶対 はただ認知できるだけであり、決して知られることはなく、それは近似的にすら不可能である。

　不寛容な仕方で読もう。この文章はまったく自己反駁的である。 Cantor が自分は 絶対 についてものを言うことができると考えているのであれば、彼は少なくとも語られるべきなのはまさにそれなのだと考えたに違いない。だから少なくともそれについて多くのことを知っていたに違いない。もしも 絶対（上に与えられたような）についての自分の定義がその近似的説明ですら与えないというのであれば、われわれは彼が何について語っているのか途方にくれるのである。しかし、これらの一般的主張で彼が言っていることは、思うに何かしら、より一般的ではない。 絶対 が知り得ないものであると彼が言うとき、 絶対 は数学的に非規定的なものであるということが意味されている。他のところで言うように（Hallett(1984), p.13）、それは


⁶　伝統的な無限と Cantor 的絶対の類似は Maddy(1983) に指摘されている。Moore(1989),pp.198f. もまた、無限の古代的問題が 絶対 において再生されていると指摘している。

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どのようにしても足されたり減らされたりできない。だから量的には絶対的な最大として見られる。或る意味で、それは人間の理解力を超えている。そして特に数学的規定を超えている。

この引用もまた、自己−不整合であるように見える。もしも 絶対 が量的に見られるのであれば、数学的規定を超えているということはありそうにない。
　この不整合に時間を費やす価値はない。それらの指摘は形成途上の思想以上のものにはならなかったし、 絶対 に関する考えられた理論として目指されているわけでもなかった（少なくともこの段階では）。その代わり、 Cantor の思想におけるはるかに基本的な矛盾を考えたい。それは超限と絶対的無限の間の彼の区別を完璧に切り取るundercutものである。すべてのオーディナルを考えよう。 Cantor の生成原理（２）が述べているのは、どのような限定された境界のない序数の継続にとっても、それらの数のリミットである一つのオーディナルが存在するということである。さて、すべてのオーディナルのシーケンスは確かにオーディナルの限定された無境界のシーケンスである。そこで、原理によれば、それらすべてよりも大きな最小のオーディナルが存在する。 von Neumann のトリックにより、これはすべてのオーディナルの集合 Ｏｎ 、絶対的無限の範型paradigmである。かくて、この絶対的無限は他のリミットオーディナルと厳密に同じ仕方で確保される。そうしたものとして、それらと違いはない。とくに、原理（１）を適用することによって、われわれはオーディナル Ｏｎ＋１ を作ることができる。それは Ｏｎ より大きい。絶対的無限は、したがって増大させることが できる 。 Cantor の超限と絶対的無限の間の区別は（あるいは最低に見積もっても、それを引き出す仕方は）崩壊する。
　絶対的無限は最終の上限upper limit、究極の上界upper boundであると想定されている。しかし、原理（２）の意図はまさに、 Cantor が言うように、「あらゆる障碍を打ち破る能力を我々に与える」ことである。⁷　これら二つの観念は、だから完全に矛盾している。この状況で、先の世代が悩んだ無限に関する矛盾とまさしく同じ矛盾にぶつかる（２．６参照）。つまり無限は、より大きなものが不可能であるが、それでもより大きなものが存在する、というようなことである。そしてそこに、われわれは多くの重要なパラドックスの種を見るのである。これらのことに少し話を進めるが、しかしまず、 Cantor の技術的作業のもう一つの側面を見ておきたい。



⁷　Hallett(1984), p.58